Legendre Polinomlarının Negatif Mertebe İlişkisi

Negatif mertebeli Legendre polinomunu açıkça yazalım:

P_L^{-m}(x) = \frac{1}{2^L L!} (1 - x^2)^{-m/2} \frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}} (x^2 - 1)^L

Ayrıca biliyoruz ki:

\frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}} (x^2 - 1)^L = \frac{(L - m)!}{(L + m)!} (x^2 - 1)^m \frac{d^{L + m}}{dx^{L + m}} (x^2 - 1)^L

Bu ifadeyi yerine koyarsak:

P_L^{-m}(x) = \frac{1}{2^L L!} (1 - x^2)^{-m/2} \frac{(L - m)!}{(L + m)!} (x^2 - 1)^m \frac{d^{L + m}}{dx^{L + m}} (x^2 - 1)^L

$(x^2 - 1)^m = (-1)^m (1 - x^2)^m$ olduğundan:

P_L^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(L - m)!}{(L + m)!} \frac{1}{2^L L!} (1 - x^2)^{m - m/2} \frac{d^{L + m}}{dx^{L + m}} (x^2 - 1)^L

Parantez içindeki ifade (P_L^m(x)) olduğundan:

\boxed{P_L^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(L - m)!}{(L + m)!} P_L^m(x)}