Legendre Polinomları Türev İlişkisi

Başlangıç ifademiz:

\frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}}(x^2 - 1)^{L} = \frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}}(x-1)^{L}(x+1)^{L}

Leibniz kuralı, herhangi bir (n)-kat türevlenebilir fonksiyon (f) ve (g) için:

(fg)^{(n)} = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{m!(n-m)!} f^{(n-m)} g^{(m)}

Ayrıca şunu hatırlayalım:

\frac{d^n}{dx^n}(x-a)^l = \frac{l!}{(l-n)!}(x-a)^{l-n}

(n > l) için türev sıfırdır.

Leibniz kuralını uygulayalım:

\frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}}(x-1)^{L}(x+1)^{L} = \sum_{k=0}^{L-m} \frac{(L-m)!}{k!(L-m-k)!} \frac{d^{L-m-k}}{dx^{L-m-k}} (x-1)^L \frac{d^k}{dx^k} (x+1)^L

Türevleri açarsak:

= \sum_{k=0}^{L-m} \frac{(L-m)!}{k!(L-m-k)!} \frac{L!}{(m+k)!}(x-1)^{m+k} \frac{L!}{(L-k)!}(x+1)^{L-k}

Toplama sınırlarını yeniden düzenleyip çarpanları ayırırsak:

\frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}}(x^2 - 1)^L = \frac{(L-m)!}{(L+m)!}(x^2 - 1)^m \sum_{k=0}^{L} \frac{(L+m)!}{k!(L+m-k)!} \frac{d^{L+m-k}}{dx^{L+m-k}}(x-1)^L \frac{d^k}{dx^k}(x+1)^L

Bu, Leibniz kuralının ters uygulanmasıyla şu hale gelir:

\frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}}(x^2 - 1)^L = \frac{(L-m)!}{(L+m)!} (x^2 - 1)^m \frac{d^{L+m}}{dx^{L+m}}(x^2 - 1)^L

Sonuç olarak:

\boxed{\frac{d^{L-m}}{dx^{L-m}} (x^2 - 1)^L = \frac{(L-m)!}{(L+m)!} (x^2 - 1)^m \frac{d^{L+m}}{dx^{L+m}} (x^2 - 1)^L}